감사합니다. 강의 항상 잘듣고 있습니다.

다름이 아니라 챕터 4의 마지막 퀴즈에서 

First, we parametrize $S$ by

 r(x,y)=\langle x,y,1+x^2+y^2 \rangle \quad (\text{where} \space x^2+y^2 \le 4)  r(x,y)=⟨x,y,1+x​2​​+y​2​​⟩ (where x​2​​+y​2​​≤4)

then

 -(r_x \times r_y)=\langle 2x, 2y, -1\rangle  −(r​x​​×r​y​​)=⟨2x,2y,−1⟩  

with downward orientation, and so

 \iint_S \text F \cdot dS = \iint_{x^2+y^2\le 4} \text F \cdot (r_x \times r_y)dxdy = \iint_{x^2+y^2 \le 4}-1dxdy = -4\pi  ∬​S​​F⋅dS=∬​x​2​​+y​2​​≤4​​F⋅(r​x​​×r​y​​)dxdy=∬​x​2​​+y​2​​≤4​​−1dxdy=−4π 

이렇게 해설이 나왔는데  -(r_x \times r_y)=\langle 2x, 2y, -1\rangle  −(r​x​​×r​y​​)=⟨2x,2y,−1⟩  이렇게 -를 붙인이유는 downward orientation이라서 인가요??

그리고 강의에서는 

normal vector에다가 절댓값을 씌우던데 강의에서 배운 surface integration값은 

절댓값을 벗긴후 f 와 normal vector의 dot product 와 동일한 값이 나오는 것인가요??

감사합니다.