We multiply both sides of e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \space \text{by} \space (x^2 + x)  e​x​​=∑​n=0​∞​​​n!​ ​x​n​​​​ by (x​2​​+x) to get

 \displaystyle (x^2 + x) e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} (x^2 + x) \frac{x^n}{n!} .   (x​2​​+x)e​x​​=​n=0​∑​∞​​(x​2​​+x)​n!​ ​x​n​​​​. 

Manipulating the right hand side of the above series yields

 \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} (x^2 + x) \frac{x^n}{n!} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n + 2}}{n!} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n + 1}}{n!}  ​n=0​∑​∞​​(x​2​​+x)​n!​ ​x​n​​​​=​n=0​∑​∞​​​n!​ ​x​n+2​​​​+​n=0​∑​∞​​​n!​ ​x​n+1​​​​ 

 \displaystyle = x + \sum_{n = 2}^{\infty} \left( \frac{x^n}{(n - 2) !} + \frac{x^n}{(n - 1) !} \right)  =x+​n=2​∑​∞​​(​(n−2)!​ ​x​n​​​​+​(n−1)!​ ​x​n​​​​) 

 \displaystyle = x + \sum_{n = 2}^{\infty} \left( \frac{n (n - 1) x^n}{n!} + \frac{n x^n}{n!} \right)  =x+​n=2​∑​∞​​(​n!​ ​n(n−1)x​n​​​​+​n!​ ​nx​n​​​​) 

                \displaystyle = x + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n^2 x^n}{n!} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^2 x^n}{n!} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^2 x^n}{n!} .  =x+​n=2​∑​∞​​​n!​ ​n​2​​x​n​​​​=​n=1​∑​∞​​​n!​ ​n​2​​x​n​​​​=​n=0​∑​∞​​​n!​ ​n​2​​x​n​​​​. 

해설을 그대로 ctrl+C ctrl+V 한것입니다. 어느정도 해석을 하다가도 막히는 부분이있습니다

감사합니다.